Ya te ha respondido laurap, pero por si acaso lo vuelvo a hacer yo.
Viajé en el Nieuw Amsterdam el verano pasado.
1) Comida tranquilidad, que no te va a faltar. Si no recuerdo mal, des de las 06 hasta las 00 (el famoso "bocadilla de la noche" XD), solo hay 1h en todo el día sin algo abierto sin comer, ya sea en restaurantes, buffet, el sitio de bocadillos de la piscina del medio, o comidas especiales en la piscina de atrás.
Si mal no recuerdo (se me pueden escapar los nombres), el buffet, Manhattan te entran todo el dia. El SilkDen (asiatico de la cubierta 11), al medio dia también te entra. El Canaletto es de pago, así como el otro mas "pijo" todo el dia. Te hablo de memoria, si hay algun problema, en el mostrador de atención al cliente te lo indicarán.
2) Lo de la tarjeta de crédito es como dice laurap. Te dan la tarjetita (una para cada pasajero adulto), y te lo van sumando a una cuenta.
Las propinas son negociables, o al menos lo fueron el año pasado. Tendrás que solicitarlo al menos con dos días antes de desembarcar (para que no tengas problemas).
Relajarte te vas a relajar mucho. El año pasado llegué tras un año laboral bastante desesperante y agotador, y la verdad que me he enamorado de este mundillo. Fueron 12 días de calma total, en los que me relajé muchísimo!!
Siempre puedes pedir una película en DVD tu camarote, ir al gimnasio... A mi me gustaba ir a matar el tiempo a la biblioteca. Me sentaba y cuando no había música en directo, me ponía mis auriculares y a disfrutar de las vistas o a leer un libro. La piscina de atrás es solo para adultos, así que si consigues una hamaca, será un buen sitio donde relajarse
Las clases de cocina con Beth son cortas i entretenidas (30 o 40min), sobretodo para aprender alguna cosa nueva o manias que tienen los americanos sobre gastronomía... ponerle mantequilla de cacahuete para hacer "healthy hummus" no se me olvidará en la vida

. Suelen hacerlas a media mañana o a media tarde, depende del día.
El ioga que hacen en la cubierta 12 a primera hora de la mañana.
Recuerda que para los días donde la gente va con mas prisa para salir (en tu itinerario Roma y Florencia), puedes pedir el desayuno en el camarote sin coste adicional para evitar colas. Suelen ser bastante puntuales (+10 -10min).
Otro consejo, si realmente te queda algo del estómago sin llenar, ir a hacer el te de las 15 o las 16 no recuerdo mal (se hace en el Manhattan). Pastas saladas y dulces bastante ricas. Es para hacerlo 2 o 3 veces, ya que al final siempre ponen las mismas, pero están buenas.
Aunque pueden pecar de ser bastante sosos, y no se adaptan al horario mediterráneo (organizar un torneo de baloncesto/tenis a las 16 de la tarde a 40grados solo tiene un adjetivo), y si no sabes inglés pues puedes ir un poco perdido.
Cualquier cosa, no dudes en preguntar.